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Pelcin identifica due distinti tipi di fratture nel suo lavoro sperimentale, ed è convinto che esse siano il risultato dei modi di propagazione ad energia "ricca" ed energia "povera". Contterell e Kamminga (1987:692) si riferiscono ad essi indicandoli come "stiffness-controlled"  e "compression-controlled". Baker è stato in grado di replicare con FEA queste due tipologie e in questo articolo approfondisce l'argomento.

Gli esperimenti controllati di Pelcin consistevano in un sistema in grado di far cadere una biglia di ferro su un nucleo di vetro (immagine a sinistra) - Il vetro era spesso 1/2 pollice, alto 5,5 e largo 3 pollici. EPA era variabile, e il nucleo era bloccato e solidale con il supporto nell'angolo destro. La discussione su questa pagina si riferisce ad un modello con un EPA di 55° e un AOB di 70°. tutti i materiali coinvolti nella sperimentazione sono elastici - nel senso che si deflettono quando sottoposti ad un carico, e in grado di ritornare alla loro posizione iniziale nel momento in cui il carico scompare. Acciaio e vetro non fanno eccezioni. Quando la biglia d'acciaio impatta con il piano di percussione, essa si comprime e deforma come una palla da tennis, semplicemente le sue deformazioni non sono visibili ad occhio nudo. Nel punto di impatto risulta quindi un po' appiattita, e il vetro, in corrispondenza, si inflette. Immediatamente dopo questo istante, entrambi i corpi deformati ritornano alla loro geometria iniziale, e rimbalzano. Queste microscopiche deformazioni risultanti dall'impatto della palla con il nucleo sono l'espressione dell'energia potenziale accumulata dal sistema, che proviene dalla trasformazione dell' energia cinetica della palla in caduta e che, se avviene il ribalzo, si ritrasforma in essa. Un sistema semplice per descrivere l'energia potenziale accumulata è quello della molla, che quando viene compressa accumula energia potenziale. L'energia potenziale di una molla è uguale a 0,5 x deflessione x forza (che causa la deflessione),

in questa immagine è stata sostituita la biglia con l'analogo meccanico di due molle e una forza. Tecnicamente si sarebbe dovuta esprimere la forza con le sue due componenti, ma questo avrebbe complicato la leggibilità dell'immagine. Entrambe le molle hanno il valore di 4.9E5 librre per pollice. Questa costante venne determinata durante la replicazione e la sua provenienza è trattata qui oltre. La forza è stata settata arbitrariamente ad 1 libbra con un AOB di 70° - La componente Y e Z di questa forza è -0.8192 e -0.5736, rispettivamente. (X è ortogonale alla pagina). Applicando queste forze e molle al nucleo (in una allocazione specifica) causa una deflessione nel nucleo e nella molla. Per esempio, se la forza e le molle sono applicate a 9,5 cm. dalla faccia sinistra (TPT), il modello FEA calcola la deflessione del nucleo e delle molle come -1.214E-6 pollici nella direzione "Y" e -5.130E-7 pollici lungo l'asse "Z". La deflessione totale del nucleo comprendente la deflessione delle molle, può essere calcolata come: delta = √((dy*dy) + (dz*dz)) = √((1.214E-6)*(1.214E-6) + (5.130E-7)*(5.130E-7)) = 1.318E-6 pollici Se le forze e le molle sono applicate in una allocazione differente, la deflessione nel nucleo sarà diversa. la ragione per questo cambiamento è dovuta al fatto che il nucleo diventa più rigido a mano a mano che il punto di applicazione della forza si sposta verso la faccia anteriore del nucleo (aumenta TPT) - il grafico che segue mostra la deflessione del nucleo con l'incremento di TPT.

Grafico 1

La deflessione del nucleo è proporzionale alla sua accumulazione di energia potenziale. Così come la deflessione varia nel suo punto di applicazione, così varia l'energia potenziale accumulata. Per calcolare l'energia potenziale nel nucleo, si consideri lo stesso esempio sopra riportato con il punto di applicazione a 9,5 mm

da sopra, il calcolo della deflessione totale è:
delta = √((dy*dy) + (dz*dz))
= √((1.214E-6)*(1.214E-6) + (5.130E-7)*(5.130E-7)) = 1.318E-6 pollici

l'energia potenziale accumulata dal nucleo e dalle due molle è:
PE_total = 0.5 * delta * forza = 0.5 * 1.318E-6 * 1 lb. = 6.590E-7 pollici-libbre

Le forze nelle due molle sono:
F_ky = K*dy = (4.9E5)*(1.214E-6) = 0.5949 libbre
F_kz = K*dz = (4.9E5)*(5.130E-7) = 0.2514 libbre

Le energie potenziali accumulate dalle due molle sono:
PE_ky = 0.5*dy*F_ky = 0.5*(1.214E-6)*0.5949 = 3.611E-7 pollici-libbre
PE_kz = 0.5*dz*F_kz = 0.5*(5.130E-7)*0.2514 = 0.645E-7 pollici-libbre

Quindi, l'energia potenziale accumulata dal nucleo è:
PE_core = PE_total - PE_ky - PE_kz
= (6.590E-7) - (3.611E-7) - (0.645E-7) = 2.334E-7 pollici-libbre.

Il grafico seguente mostra l'energia potenziale accumulata dal nucleo in funzione del punto di applicazione della forza (TPT)

Grafico 2

Dall'esame del grafico, risultano due cose emblematiche. La prima è che la curva dell'energia potenziale (grafico 1) ha un punto di massimo (ad un valore di circa 30 mm TPT l'energia potenziale decresce) mentre la curva della deflessione del nucleo (grafico 1) non lo mostra. La seconda è che la curva dell'energia potenziale è direttamente proporzionale a TPT per la maggior parte del grafico 2, mentre nella curva di deflessione (grafico 2) avviene il contrario.

La motivazione del punto di massimo è da ricercarsi nella calibrazione delle molle (Ky e Kz) che rappresenta il comportamento elastico della biglia di acciaio. Se le molle non vengono considerate, o settate a 0, la curva dell'energia potenziale tende a somigliare la curva della deflessione del nucleo, entrambe declinerebbero all'aumentare di TPT. Se le molle vengono settate più forti, (costante elastica aumentata) esse iniziano ad assorbire parte dell'energia potenziale del sistema (nucleo, molle e forza) e la curva dell'energia potenziale tenderebbe ad avere un punto di massimo a valori di TPT molto più bassi. Con i valori elastici delle molle  settati a 4.9E5 libbre per pollice, il punto di massimo va a 28 mm. di TPT (grafico 2). Con questo sistema Baker ha settato le costanti delle molle, verificando il punto di transizione attraverso i dati sperimentali di Pelcin.

Questo punto di massimo risulta essere il punto di separazione tra la zona dell'energia "ricca" e quella ad energia "povera". Quella "ricca" è a sinistra del punto considerato, quella "povera" a destra. Riferendoci al grafico 1, che potrebbe essere chiamato anche il grafico della resistenza alla flessione del nucleo, si vede come esso si defletta di più via via che TPT decresce. In altre parole, la resistenza alla flessione è proporzionale a TPT.

Consideriamo cosa accade al nucleo quando viene compresso dalla forza e la frattura ha inizio. La presenza di una inizializzazione di frattura rende il nucleo meno resistente, fatto equivalente ad una riduzione di TPT o al muoversi verso la regione sinistra del grafico dell'energia potenziale. Se la frattura inizia sulla sinistra del punto di massimo del grafico 2, muoversi verso sinistra significa un impiego minore di energia potenziale. Se la frattura ha inizio nella parte del grafico a destra del punto di massimo, muovendosi verso sinistra richiede un umpiego maggiore di energia potenziale. Il significato di questa differenza è che le fratture ad energia ricca si manifestano senza l'energia trasferita dal ribalzo della biglia, e le fratture ad energia povera invece hanno necessità di questa energia.

Come è evidente per le fratture ad energia ricca (#1, #2, and #3), il nucleo rilascia maggiore energia potenziale in modo direttamente proporzionale alla lunghezza della frattura. Nel modo ad energia povera (#4) vi è necessità di molta più energia per la propagazione della scheggia. Queste due meccaniche, qualitativamente differenti, significano differenti velocità di propagazione, da 100 a 200 m/sec per l'energia povera³, e 500/1000 m/sec per l'energia ricca  (Cotterell, Kamminga 1987:680)

Quando (nel processo ad energia ricca) la frattura verticale  si blocca, anche la propagazione della scheggia si blocca. Solo dopo che la biglia ritorna alla sua forma iniziale (rimbalzo) e trasferisce la sua energia, la propagazione continua e si ha il distacco. Nei due processi il distacco finale della scheggia avviene quindi per lo stesso motivo. Cosa determina l'interruzione della propagazione della frattura nel processo ad energia ricca? Non  certo  l'esaurimento della loro energia potenziale, come si nota dal grafico in basso riferito ai modelli #1, #2 e #3 ove la lunghezza della frattura è funzione dell'energia potenziale per mm. di frattura. Non è lo stesso valore di energia potenziale perché la frattura termina per ogni scheggia a diverse lunghezze. Tutti e tre i modelli ad energia ricca terminano al medesimo valore di energia potenziale per millimetro. Come la frattura procede, l'energia potenziale accumulata nel nucleo si trasforma in lavoro per la sua propagazione. Questo processo di trasformazione ha un particolare comportamento, prima cresce e poi decresce. Durante la fase di decrescita, si nota un valore di 9.0E-10 pollici-libbre ove la frattura termina.

Questo grafico è stipato di dati perché vi è inclusa una serie di linee di regressione (linee tratteggiate) con i dati reali. Questi dati che corrispondono al cambiamento dell'energia potenziale per millimetro di frattura, tendo a divenire instabili nel modello FEA perché le celle di riferimento sono troppo larghe. Conseguentemente sono stati usati sistemi di regressione lineare per determinare con maggiore approssimazione quando le fratture terminano. Il lettore potrà notare come tutte le fratture si bloccano alla corrispondenza di 9.0E-10 polici-libbre per millimetro. Non vi è nulla di particolare in questo valore, al di fuori del fatto che esso si manifesti nella simulazione specifica dell'esperimento di Pelcin. Il lettore può anche verificare come tale valore sia dipendente dalla forza arbitrariamente definita nel modello (1 libbra) posseduta dalla biglia  (percussore).

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Notes

^#1 Nell'immagine il nucleo è stato ruotato verso destra a solo scopo descrittivo. in realtà la biglia colpisce il piano di percussione verticalmente con il nucleo ruotato verso destra rispetto all'immagine.

^#2 Dal momento che Baker è americano, ha creato il modello FEA in unità del sistema britannico. Glia rcheologi utilizzano il sistema metrico decimale, e pelcin utilizza tale sistema. nel lavoro qui presentato, vi è un mix dei due sistemi.

^#3 La velocità della propagazione delle schegge in regime di energia povera è uguale alla velocità di rimbalzo della biglia d'acciaio e del piano di percussione del nucleo. Dagli esperimenti di Crabtree (1968:474) nella produzione di lame mesoamericane  per pressione indiretta si ha una velocità misurata di 125 m/sec., considerando la lunghezza di lama di 10 cm. Gli esperimenti di  Hutchings (1997:50) riportano un minimo di 118 m/sec. ad un massimo di 152 m/sec. per ritoccatori in rame e palco. E' possibile che una biglia di acciaio produca fratture alla velocità di 200 m/sec. anche se dovrebbe essere un valore limite.